Перейти на главную страницу
Поиск по сайту

Преобразование плоскости движение и его свойства

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ ГИА в учебном центре "Резольвента" Справочник по математике - Планиметрия - Движения плоскости. Афинные преобразования плоскости 495 509-28-10 ОЧНЫЕ КУРСЫ ЕГЭ преобразование плоскости движение и его свойства ОГЭ Математика, Русский язык + сочинение, Физика Звоните и записывайтесь! Наше новое направление: ИНТЕРНЕТ-ПОДГОТОВКА к ЕГЭ и ОГЭ Видеозанятия по математике в режиме реального времени и в записи доступность из любой точки мира; экономия времени и денег; возможность повторного просмотра видеозанятий. Нам не все равно, как Вы сдадите экзамены! До ЕГЭ по математике осталось дней часов минут секунд НАШИ УСЛУГИ НАШИ МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ Планиметрия Проблемы с математикой? Все задания группы Комплекс материалов для подготовки учащихся совместно с ФИПИ - Ященко Тренировоч- ные упражнения по математике. Профильный уровень - Балаян Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематические тестовые задания - Глазков Задача 18 профильный уровень. ФГОС - Шестаков Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Тематичес- кие тестовые задания. Супертренинг - Лаппо Учебное пособие - Черняк Три модуля: "Алгебра", "Геометрия", "Реальная математика". Все задания части 1. Диагностичес- кие работы в формате ЕГЭ 2015. Геометрия - Лысенко Типовые экзаменацион- ные варианты - Семенов Подготовка к ЕГЭ по математике в 2016 году. ФГОС - Ященко Подготовка к ЕГЭ - Лаппо Решение задач и уравнений в целых числах - Садовничий Сборник заданий и методических рекомендаций - Глазков Решение неравенств с одной переменной - Прокофьев Базовый и профильный уровни. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ. НАШИ ПАРТНЕРЫ Движения плоскости. Афинные преобразования плоскости Преобразования плоскости Определение 1. Преобразованием плоскости преобразование плоскости движение и его свойства правило, с помощью которого каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости. Из определения 1 вытекает, что, если F — преобразование плоскости αа M — произвольная точка плоскостито F M тоже является точкой плоскости α. Точку F M называют образом точки M при преобразовании F, а точку M называют прообразом точки F M при преобразовании Аналогично определяются образы и прообразы любых фигур на плоскости при преобразовании Преобразование плоскости называют взаимно однозначным преобразованием плоскости на себя, если разные точки имеют преобразование плоскости движение и его свойства образы, и каждая точка плоскости имеет прообраз. Другими словами, при взаимно однозначном преобразовании плоскости на себя разные точки плоскости переходят в разные точки этой же плоскости, и в каждую точку плоскости переходит какая-то точка этой плоскости. Произведением композицией двух преобразований называют преобразование, которое получается в результате последовательного выполнения этих преобразований. Движения плоскости Определение 5. Движением плоскости называют преобразование плоскости движение и его свойства преобразование плоскости, при котором расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами. Следующие преобразования являются движениями плоскости: 1. Параллельный перенос сдвиг на заданный вектор При параллельном переносе плоскости на заданный рис. Движение, при котором каждая точка плоскости остаётся на своём месте, называют тождественным преобразованием. Тождественное преобразование можно рассматривать как параллельный перенос на вектор, равный нулю. Поворот вокруг заданной точки, называемой центром поворота, на заданный угол При повороте плоскости вокруг точки O на угол φ рис. Центральная симметрия преобразование плоскости движение и его свойства относительно заданной точки, называемой центром симметрии При центральной симметрии плоскости относительно точки O произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что серединой отрезка AA' является точка O — заданный центр симметрии рис. Центральная симметрия совпадает с. Осевая симметрия симметрия относительно заданной прямой, называемой осью симметрии При осевой симметрии относительно прямой PQ ось симметрии произвольная точка A плоскости переходит в такую точку A' плоскости, что, во-первых, прямая AA' перпендикулярна прямой PQа, во-вторых, точка пересечения прямых AA' и PQ является серединой отрезка AA' Рис. Скользящая симметрия композиция осевой симметрии относительно заданной прямой и параллельного переноса на заданный отличный от нуля вектор, преобразование плоскости движение и его свойства этой прямой Если прямая PQ — ось симметрии, а задаётся параллельным прямой PQто результат скользящей симметрии можно условно изобразить так, как показано на рисунке 5. Движения плоскости, изменяющие ориентацию. При таком обозначении вершин обход треугольника будет осуществляться против часовой стрелки. Поскольку каждое движение плоскости сохраняет расстояния между точками, то треугольник A'B'C' также будет равносторонним, однако возможны следующие два случая. Если при движении F осуществляется первый случай, то такое движение называют движением, сохраняющим ориентацию плоскости движением 1-го рода, собственным движением. Если при движении F осуществляется второй случай, то такое движение называют движением, изменяющим ориентацию движением 2-го рода, несобственным движением. Классификацию всех даёт следующая теорема Шаля. Любое движение плоскости, сохраняющее ориентацию, является илиили. Любое движение плоскости, изменяющее ориентацию, является илиили. Аффинные преобразования плоскости Определение 7. Аффинным преобразованием плоскости называют такое взаимно однозначное преобразование плоскости на себя, при котором образом любой прямой на плоскости является прямая. Поскольку каждое движение плоскости переводит прямые линии в прямые линии, то каждое движение является аффинным преобразованием. Однако аффинные преобразования не ограничиваются движениями плоскости. Следующие преобразования также являются аффинными преобразованиями плоскости: 1. Сжатие растяжение к прямой с заданным коэффициентом сжатия растяжения При сжатии растяжении плоскости к прямой PQ с заданным коэффициентом сжатия k рис. Будем использовать для рассматриваемого сжатия растяжения обозначение 2. Сжатие растяжение по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям с заданными коэффициентами сжатия растяжения Пусть PQ и MN — две взаимно перпендикулярных прямых, а числа k 1 преобразование плоскости движение и его свойства k 2 — плоскости в направлении прямых PQ и MN соответственно. Тогда сжатием растяжением по двум заданным взаимно перпендикулярным направлениям PQ и MN с коэффициентами k 1 и k 2 рис. Рассмотрим две произвольных взаимно перпендикулярных прямых PQ и MN, пересекающихся преобразование плоскости движение и его свойства точке Тогда гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k совпадёт со. Другими словами, гомотетия является сжатий растяжений : Рис. Преобразование подобия с заданным коэффициентом подобия Преобразованием подобия с коэффициентом подобия k называют аффинное преобразование, представленное в виде и рис. Любое аффинное преобразование плоскости представляется в виде и. На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра "Резольвента". Приглашаем школьников можно вместе с родителями на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными». Запись по телефону 495 509-28-10. Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ ГИА по математике, физике или русскому языку на высокий балл, учебный центр "Резольвента" проводит У нас также для школьников организованы МОСКВА, СВАО, Учебный центр "РЕЗОЛЬВЕНТА".Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' - образ фигуры F, а фигура F - прообраз фигуры F'. Если одним отображением фигура F переводится в фигуру F', а затем фигура F' переводится в фигуру F'', то отображение, переводящее F в F'' называется композицией двух отображений. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Пусть фигура F' получена из фигуры Преобразование плоскости движение и его свойства взаимно однозначным отображением f, то можно задать отображение обратное отображению f, которое определяется так: композиция отображения f и отображения, обратного f является тождественным отображением. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них: 1. Движение имеет ряд важных свойств: 1. Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной преобразование плоскости движение и его свойства. Докозательство: пусть движение переводит точки A, B, C в точки A', B', C'. А из этого следует, что точка B' лежит между точками A' и C'. Второе утверждение докажем методом от противного: Предположим, что точки A', B', C' лежат на одной прямой даже в том случае, если точки A, B, C не лежат на одной прямой, то есть являются вершинами треугольника. Тогда должны выполнятся неравенства треугольника: AB AC BC но из равенств 1 следует, что те же неравенства должны выполнятся и для точек A', B', C' следовтельно точки A', B', C' должны быть вершинами треуголька, следовтельно точки A', B', C' не должны лежать на одной прямой. Отрезок движение переводится в отрезок. При движении луч переходит в луч, прямая в пррямую. Треугольник движением переводится в треугольник. Движение сохраняет величины углов. При движении сохраняются площади многоугольных фигур. Отображение, обратное движению является движением. Композиция двух движений также является движением. Используя определение движения можно дать такое определение равнества фигур: Две фигуры называются равными, если одну из них можно перевести в другую некоторым движением. Виды движений На плоскости существуют четыре типа движений: 1. Поворот вокруг точки 4. Центральная симметрия Рассмотрим подробнее каждый вид. Параллельный перенос Параллельным переносом называется такое движение, при котором все точки плоскости перемещаются в одном и том же направлении на одинаковое расстояние. Параллельный перенос задается преобразование плоскости движение и его свойства переноса: зная этот вектор всегда можно сказать, в какую точку перейдет любая точка плоскости. Параллельный перенос является движением, сохраняющим направления. Дейсвтительно, пусть при параллельном переносе точки X и Y перешли в точки X' и Y' соответственно. Это свойство параллельного переноса - преобразование плоскости движение и его свойства характерное свойство, то преобразование плоскости движение и его свойства справедливо утверждение: движение, сохраняющее направления является параллельным переносом. Осевая симметрия Точки X и X' называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них симметричной другой, если a является серидинным перпендикуляром отрезка XX'. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе относительно прямой a. Если дана прямая a, то каждой точке X соответсвует единственная точка X', симметричная X относительно a. Симметрией плоскости преобразование плоскости движение и его свойства прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметриченая ей относительно прямой a. Докажем, что осевая симметрия является движением успульзуя метод координат: примем прямую a за ось x преобразование плоскости движение и его свойства координат. Тогда преобразование плоскости движение и его свойства симметрии относительно нее точка, имеющая координаты x;y будет преобразована в точку с координатами x, -y. Возьмем любые две точки A x1, y1 и B x2, y2 и рассмотрим симметричные им относительно оси x точки A' x1,- y1 и B' x2, -y2. Вычисляя растояния A'B' и AB, получим Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовтельно она является движением. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота. Докажем, что поворот является движением: Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопостовляются точки X' и Y'. Рассмотрим общий случай, когда преобразование плоскости движение и его свойства O, X, Y не лежат на одной прямой. Тогда угол X'OY' равен углу XOY. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. Если это не так, то рассматриваем угол YOX. Тогда угол между OX и OY' равен сумме угла XOY и угла поворота от OY к OY' : с другой стороны, Так как как углы поворотаследовтельно. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Если же точки O, X, Y лежат на одной прямой, то отрезки XY и X'Y' будут либо суммой, любо разностью равных отрезков OX, Преобразование плоскости движение и его свойства и OX', OY'. Итак, поворот является движением. Центральная симметрия Можно дать такое определение: Центральная симметрия с цетром в точке O это такое отображение плоскости, при котором любой точке X сопоставляется такая точка X', что точка O является серидиной отрезка XX'. Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на 180 градусов. Действительно,пусть при центральной симметрии относительно точки O точка X перешла в X'. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением. Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные. Даказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: "Движение, изменяющее направления на противоположные, является центральной симметрией. Например, преобразование плоскости движение и его свойства обладает поворотной симметрией, если она переходит в себя некоторым поворотом. Рассмотрим симметрию некоторых фигур: 1. Отрезок имеет две оси симметрии серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок и центр симметрии середина. Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный но не равносторонний треугольник имеет однуось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии серединные перпендикуляры к сторонам и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота преобразование плоскости движение и его свойства. У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота. При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие преобразование плоскости движение и его свойства середины противоположных сторон. При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противополжной стороны. Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет. Любая прямая, проходящая через центр окружности является ее осью симметрии, окружность также обладает поворотной симметрией, причем угол поворота может быть любым. Фигура F называется подобной фигуре F' с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F'. Основное свойство гомотетии При гомотетии с коэфффициентом k каждый вектор умножается на. Пусть точка центр гомотетии. Отметим, что любое подобие с коэффициентом можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом и движения. Некоторые свойства гомотетии 1. Гомотетия отрезок переводит в отрезок. Гомотетия сохраняет величину углов. Подобие отрезок переводит в отрезок. Подобие преобразование плоскости движение и его свойства величину углов. Подобие треугольник переводит в треугольник. Соответсвенные стороны преобразование плоскости движение и его свойства треугольников пропорциональны, а соответсвенные углы равны 4. В результате подобия с коэффициентом площади фигур умножаются на 2. Композиция подобий с коэффициентами k1 и k2 есть подобие с коэффициентом k1k2.


Другие статьи на тему:



 
Copyright © 2006-2016
elektroled-st.ru